Systèmes d'équations

Un système de deux équations linéaires a exactement une solution si les deux droites se coupent, aucune solution si elles sont parallèles, et une infinité de solutions si c'est deux fois la même droite. Trois méthodes sont possibles : substitution, combinaison ou comparaison. Elles donnent toutes le même résultat, puisqu'elles décrivent le même point d'intersection.

Trois méthodes, un seul point

Substitution, combinaison et comparaison ressemblent à trois astuces sans lien, vues dans trois leçons différentes. Elles cherchent pourtant le même point : celui où les deux équations sont vraies en même temps.

Changez de méthode dans l'outil et le graphique ne bouge pas. Seul le chemin de calcul en dessous change. C'est bien l'idée : choisissez la méthode adaptée aux nombres. Un 1 devant x ? La substitution ira plus vite. Des termes en x déjà presque opposés ? Prenez la combinaison.

Pas de solution n'est pas une erreur

Réglez b₂ pour rendre la seconde droite parallèle à la première. Les deux droites avancent alors côte à côte sans jamais se toucher, et le système n'a pas de solution.

Dans le calcul, cela se voit à une ligne impossible du type 0 = 5. Ce n'est pas une faute de calcul, c'est la réponse. Faites ensuite glisser c₂ jusqu'à superposer les droites et vous obtiendrez 0 = 0 : tout point de la droite convient, il y a donc une infinité de solutions.

Le déterminant le dit à l'avance

En bas figure a₁b₂ - a₂b₁. Tant que ce nombre est non nul, les droites se coupent et il y a exactement une solution.

S'il devient nul, elles sont parallèles et il reste à distinguer lequel des deux cas vous avez. Pratique comme vérification : calculez le déterminant d'abord et vous saurez tout de suite si cela vaut la peine de continuer.

Questions fréquentes

En quoi consiste la méthode de substitution ?

Vous isolez une inconnue dans une équation, par exemple x = (c - by) / a, puis vous remplacez cette expression dans l'autre équation. Il ne reste alors qu'une équation à une inconnue.

Quand utiliser la méthode par combinaison ?

Quand les coefficients de x ou de y sont faciles à rendre opposés. Vous multipliez les deux équations pour qu'une inconnue disparaisse à l'addition ou à la soustraction. Avec de grands nombres, c'est souvent plus propre que la substitution.

Quelle est la différence avec la méthode par comparaison ?

Par comparaison, vous écrivez les deux équations sous la forme y = ... et vous égalez les membres de droite. Cela marche bien quand les deux équations sont déjà presque écrites ainsi.

Comment savoir qu'un système n'a pas de solution ?

Si le calcul aboutit à quelque chose d'impossible, comme 0 = 5. Graphiquement, cela correspond à deux droites parallèles. Si vous obtenez 0 = 0, les droites sont confondues et il y a une infinité de solutions.

Peut-on résoudre un système graphiquement ?

Oui, et c'est ce que montre cet outil. Vous tracez les deux droites et vous lisez le point d'intersection. Pour des solutions entières, cela suffit ; pour des fractions, la lecture ne sera jamais exacte. Vérifiez alors avec une des trois méthodes.

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