Outil de maths gratuit · Niveau: 3e et 4e secondaire
Discriminant et parabole
Faites varier a, b et c et voyez ce que mesure vraiment le discriminant: si la parabole coupe l'axe des x, le touche, ou le rate.
Le discriminant de ax² + bx + c vaut D = b² - 4ac. Si D est positif, la parabole coupe l'axe des x en deux points et il y a deux solutions. Si D vaut zéro, elle le touche et il y a une solution. Si D est négatif, la parabole reste entièrement au-dessus ou en dessous et il n'y a pas de solution réelle.
Les trois cas ne font qu’un seul mouvement
Le cours présente trois cas séparés. À l'écran c'est un mouvement continu: montez c doucement, la parabole s'élève, les deux points d'intersection se rapprochent, se confondent, puis la parabole quitte l'axe.
Le moment où les deux solutions se confondent est exactement celui où D s'annule. Ce n'est pas une règle à part, c'est l'étape intermédiaire.
Pourquoi la racine impose le signe de D
La formule contient √D. Dans les réels, un nombre négatif n'a pas de racine carrée, et voilà toute la raison pour laquelle D négatif signifie: pas de solution.
Mettez a à zéro et la parabole devient une droite. La formule, avec 2a au dénominateur, ne fonctionne plus puisqu'on diviserait par zéro. D'où la condition a ≠ 0.
Le sommet est toujours entre les deux racines
L'axe de symétrie passe par le sommet, en x = -b / (2a). S'il y a deux solutions, le sommet est exactement à mi-chemin.
C'est une vérification rapide: calculez les racines, prenez leur moyenne et vous avez l'abscisse du sommet sans autre calcul.
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Questions fréquentes
- Comment calcule-t-on le discriminant?
- Avec D = b² - 4ac, où a, b et c sont les coefficients de ax² + bx + c = 0. Attention aux signes de b et c, c'est l'erreur la plus fréquente.
- Que signifie un discriminant nul?
- La parabole touche l'axe des x en un seul point. Il y a une solution, confondue avec le sommet. Dans l'outil, les deux racines se rapprochent jusqu'à ne faire qu'un point.
- Pourquoi n'y a-t-il pas de solution si D est négatif?
- Parce que la formule demande la racine de D, et un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle. Graphiquement: la parabole est entièrement au-dessus ou en dessous de l'axe.
- Que se passe-t-il si a vaut zéro?
- Ce n'est plus une équation du second degré mais du premier, et le graphe devient une droite. Amenez a à zéro dans l'outil et la courbure disparaît.
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