Outil de maths gratuit · Niveau: 6e secondaire
Intégrale et somme de Riemann
Une intégrale, c'est d'abord une aire. Montez le nombre de rectangles et regardez l'escalier devenir une courbe lisse.
Une intégrale définie de a à b est l'aire entre la courbe et l'axe des x. On l'approche en découpant la zone en rectangles et en additionnant leurs aires: c'est une somme de Riemann. Plus il y a de rectangles, plus l'erreur diminue, et l'intégrale est la limite de ces sommes.
Pourquoi le signe compte
Sous l'axe des x, les rectangles changent de couleur et se soustraient au lieu de s'ajouter. Une intégrale est donc une aire signée, pas une aire ordinaire.
Prenez sin(x) de 0 à 2π et le résultat est exactement zéro. La bosse au-dessus et la bosse en dessous s'annulent. Prendre "intégrale = aire" au pied de la lettre coûte des points ici.
Gauche, droite, milieu ou trapèzes
Pour une fonction croissante, la somme à gauche est toujours en dessous et celle à droite toujours au-dessus. La vraie valeur est coincée entre les deux, ce qui donne une vérification immédiate.
Mettez n à 20 et changez de méthode. Le milieu et les trapèzes sont bien plus proches que gauche ou droite au même découpage. Ajouter des rectangles aide, mieux mesurer aide plus vite.
D'où vient le dx
Chaque rectangle a pour aire f(x) fois sa largeur. Dans la somme, cette largeur s'écrit Δx. Quand le nombre de morceaux tend vers l'infini, Δx devient infiniment petit et l'on écrit dx.
Voilà toute l'histoire du symbole ∫ f(x) dx: un S allongé pour "somme", suivi de la hauteur multipliée par la largeur.
Les intégrales restent difficiles?
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Questions fréquentes
- Que signifie vraiment une intégrale?
- L'aire signée entre la courbe et l'axe des x, entre deux bornes. Au-dessus de l'axe elle s'ajoute, en dessous elle se retranche.
- Qu'est-ce qu'une somme de Riemann?
- Une approximation de cette aire par une série de rectangles. On mesure la hauteur à gauche, à droite ou au milieu de chaque morceau, on multiplie par la largeur et on additionne.
- Pourquoi plus de rectangles est plus précis?
- Chaque rectangle a un sommet plat alors que la courbe ne l'est pas, il reste donc toujours un petit écart. Des rectangles plus fins laissent moins de place à cette erreur, et l'écart affiché à droite diminue.
- Quel est le lien avec la primitive?
- Le théorème fondamental dit que cette limite de sommes se calcule aussi comme F(b) - F(a), avec F une primitive de f. Cet outil montre le côté aire, les règles de calcul montrent l'autre côté.