Produits remarquables

Pour (a+b)², dessinez un carré de côté a+b. Il se découpe en quatre morceaux: a², deux rectangles de a sur b, et b². Au total a² + 2ab + b². Les deux rectangles sont exactement ce qu'on oublie en écrivant a² + b².

Pourquoi ce 2ab est bien là

Mettez a à 5 et b à 3. Le grand carré a un côté de 8, donc une aire de 64. Or a² + b² donne 25 + 9 = 34. Il manque 30, soit exactement 2 fois 15: les deux rectangles orange.

Vous pouvez donc toujours attraper cette erreur avec des nombres. Choisissez deux valeurs au hasard et vérifiez que les deux côtés donnent la même chose.

Pourquoi (a-b)² semble plus dur

Avec le moins, on part du grand carré a² et on retire deux bandes de a sur b. Mais dans le coin où ces deux bandes se chevauchent, on a retiré deux fois le même morceau.

Ce coin est b². Il faut le rajouter une fois, et c'est pourquoi la formule se termine par plus b² et non moins b². Passez l'outil en (a-b)² et le coin rouge est précisément ce morceau.

La différence de deux carrés

Pour (a+b)(a-b), on découpe un carré b² dans le coin du grand carré a². Ce qui reste a pour aire a² - b², et se réarrange en un rectangle de (a+b) sur (a-b).

C'est la forme la plus utile à reconnaître en factorisation. Devant x² - 9, vous écrivez (x+3)(x-3) sans calculer.

Questions fréquentes

Pourquoi (a+b)² n'est-il pas a² + b²?

Parce qu'il y a deux rectangles de a sur b au milieu. Le carré de côté a+b compte quatre morceaux, pas deux. Ensemble ils donnent a² + 2ab + b².

Quels sont les trois produits remarquables?

(a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b², et (a+b)(a-b) = a² - b². Les deux premiers ne diffèrent que par le signe du terme du milieu.

Pourquoi un plus b² dans (a-b)²?

Parce qu'en retirant les deux bandes on enlève deux fois le morceau du coin. Le rajouter une fois corrige le compte, et ce rajout est le plus b².

Comment les repérer en factorisation?

Cherchez deux carrés. Avec un moins entre eux, c'est une différence de carrés. Avec trois termes dont celui du milieu vaut deux fois le produit des racines des deux autres, c'est un carré parfait.

Plus d'outils de maths interactifs

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