Outil de maths gratuit · Niveau: 5e et 6e secondaire
Dérivée et tangente
Déplacez le point sur la courbe et regardez la tangente basculer avec lui. La dérivée, c’est la pente de cette droite.
La dérivée d'une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente en ce point. On l'obtient en prenant la pente de la sécante entre deux points, puis en rapprochant ces deux points. Plus h devient petit, plus la sécante se confond avec la tangente.
Pourquoi h ne peut jamais valoir zéro
La pente de la sécante vaut (f(x+h) - f(x)) / h. Avec h = 0 on divise par zéro, ce qui est interdit. Mais rien n'empêche de rendre h aussi petit qu'on veut.
Faites descendre le curseur h et suivez les deux nombres à droite. La sécante et la tangente se rapprochent sans jamais se confondre. Ce rapprochement, c'est exactement une limite, d'où le lim h→0 de la définition.
La dérivée est elle-même une fonction
Chaque point de la courbe a sa propre pente. Rassemblez toutes ces pentes et vous obtenez une nouvelle fonction: la dérivée.
C'est ce que montre le second graphique. Déplacez le point et repérez où la dérivée traverse zéro. C'est là que se trouve un maximum ou un minimum, puisque la tangente y est horizontale.
Ce que les signes racontent
Dérivée positive: la fonction monte. Dérivée négative: elle descend. Tout le tableau de signes tient là-dedans, et cela se lit sur la direction de la tangente.
Essayez f(x) = x³ - 3x. Entre les deux extrema la tangente descend nettement et la dérivée passe sous l'axe. Ce lien ne s'oublie plus une fois qu'on l'a vu bouger.
L'analyse reste difficile?
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Questions fréquentes
- Qu'est-ce qu'une dérivée, simplement?
- La raideur d'une courbe à un endroit donné. Posez une règle contre la courbe de façon à l'effleurer: la pente de cette règle est la dérivée à cet endroit.
- Quelle différence entre sécante et tangente?
- Une sécante coupe la courbe en deux points, une tangente ne la touche qu'en un seul. En rapprochant les deux points de la sécante, on obtient la tangente à la limite.
- Comment trouver l'équation de la tangente?
- Il faut un point et un coefficient directeur. Le point est (a, f(a)), le coefficient est f’(a). On remplace dans y = f’(a)(x - a) + f(a).
- Pourquoi la dérivée est-elle nulle à un extremum?
- À un extremum la fonction passe de croissante à décroissante. À ce basculement la tangente est horizontale, et une droite horizontale a un coefficient directeur nul.