Loi des sinus et loi des cosinus

La loi des sinus dit que a/sin A = b/sin B = c/sin C dans tout triangle : chaque côté va de pair avec l'angle qui lui fait face. La loi des cosinus dit que c² = a² + b² - 2ab·cos C. Si vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux, utilisez la loi des cosinus. Si vous connaissez un côté et l'angle opposé, utilisez la loi des sinus.

La loi des cosinus est Pythagore avec une correction

Placez l'angle C à 90 degrés et regardez le terme -2ab·cos C. Il devient nul, puisque cos 90° = 0, et il reste c² = a² + b². C'est littéralement le théorème de Pythagore.

Rendez ensuite C plus aigu et le terme devient négatif : le côté opposé est plus court que ce que Pythagore prévoirait. Rendez l'angle obtus et le terme devient positif, donc le côté s'allonge. La loi des cosinus n'est donc pas une seconde formule à retenir, mais la même avec une correction pour les angles qui ne sont pas droits.

Pourquoi les trois rapports sont toujours égaux

Passez l'outil sur la loi des sinus et les trois rapports a/sin A, b/sin B et c/sin C s'affichent côte à côte. Déplacez un sommet où vous voulez : ils restent égaux.

Ce nombre commun n'a rien d'un hasard. C'est le diamètre du cercle passant par les trois sommets. Voilà pourquoi le plus grand côté fait toujours face au plus grand angle, ce qui donne une vérification rapide de votre réponse.

Quelle loi choisir ?

Regardez vos données. Deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés : loi des cosinus. Un côté et l'angle qui lui fait face, plus une autre donnée : loi des sinus.

Un piège avec la loi des sinus : sin 30° et sin 150° valent tous deux 0,5, donc la calculatrice ne rend qu'un des deux angles possibles. Si votre dessin montre un triangle obtus et que vous obtenez un angle aigu, soustrayez de 180 degrés. Dans l'outil, déplacez un sommet jusqu'à dépasser 90 degrés pour voir quand cela se produit.

Questions fréquentes

Quelle est la loi des sinus ?

Dans tout triangle, a/sin A = b/sin B = c/sin C. Chaque côté est donc dans le même rapport avec le sinus de l'angle qui lui fait face. On l'utilise quand on connaît un côté et son angle opposé.

Quelle est la loi des cosinus ?

c² = a² + b² - 2ab·cos C, où C est l'angle entre les côtés a et b. On l'utilise avec deux côtés et l'angle entre eux, ou avec les trois côtés pour retrouver un angle.

La loi des cosinus vaut-elle dans un triangle rectangle ?

Oui. Pour C = 90°, cos C vaut zéro, le dernier terme disparaît et il reste c² = a² + b². Pythagore n'est que le cas particulier de la loi des cosinus.

Comment calculer un angle à partir des trois côtés ?

Réécrivez la loi des cosinus en cos C = (a² + b² - c²) / (2ab), puis prenez l'arccosinus. L'angle obtenu est toujours entre 0 et 180 degrés, donc le problème des deux angles possibles ne se pose pas ici.

Pourquoi ma calculatrice donne parfois le mauvais angle ?

Parce qu'un angle aigu et un angle obtus peuvent avoir le même sinus. L'arcsinus rend toujours l'aigu. Si vous soupçonnez un angle obtus, calculez 180 degrés moins la réponse et vérifiez que ce triangle correspond à votre dessin.

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