Outil de maths gratuit · Niveau: 6e secondaire
Loi binomiale
Réglez le nombre d'essais, la probabilité de chacun et le nombre de succès. La barre allumée est la probabilité cherchée, et la formule en dessous montre comment elle se construit.
La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement k succès en n essais indépendants de même probabilité p. La formule est P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ. C(n,k) compte les ordres possibles de ces k succès, le reste étant la probabilité d'un ordre donné.
D'où vient C(n,k)
Dessinez la même expérience en arbre : chaque chemin à k succès a exactement la même probabilité, k fois p et le reste fois 1-p. Ils ne diffèrent que par l'ordre.
Il suffit donc de calculer cette probabilité une fois, puis de compter les chemins. Ce nombre est C(n,k), et ce n'est rien de plus qu'un décompte. Avec trois essais et exactement un succès, il y a trois chemins, et C(3,1) vaut bien 3.
Au plus et au moins
Une question comme « au plus 3 fois » ne porte pas sur une barre mais sur toutes les barres jusqu'à 3. Activez la couche cumulée et elles se colorent ensemble, avec leur somme à côté.
Pour « au moins 4 fois », réutilisez ce résultat : tout ce qui n'est pas au plus 3 est au moins 4, donc 1 moins la probabilité cumulée. Cela évite beaucoup d'additions dès que n grandit.
Quand la loi normale peut prendre le relais
Montez n et les barres dessinent une cloche. Ce n'est pas un hasard, et c'est pour cela qu'une probabilité binomiale s'approche par une loi normale de moyenne n·p et d'écart type la racine de n·p·(1-p).
La règle pratique demande que n·p et n·(1-p) valent au moins 5. Mettez p à 0,05 en gardant n petit et vous verrez pourquoi : la distribution se tasse contre le bord gauche alors que la cloche reste symétrique, et tombe donc à côté. L'outil affiche la courbe dans les deux cas et indique si la règle tient.
Les lois de probabilité bloquent encore ?
Un tuteur reprend vos exercices pas à pas, de la formule à la calculatrice.
Questions fréquentes
- Quand utilise-t-on la loi binomiale ?
- Quand une même expérience est répétée un nombre fixé de fois, que chaque essai n'a que deux issues, que la probabilité reste identique et que les essais n'ont aucune influence les uns sur les autres. Un tirage sans remise en sort donc, puisque p change en cours de route.
- Quelle est la formule de la loi binomiale ?
- P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ. C(n,k) compte les ordres, pᵏ correspond aux k succès et (1-p)ⁿ⁻ᵏ aux échecs restants.
- Comment calculer P(X ≤ k) ?
- Additionnez les probabilités de k = 0 jusqu'à votre k. La calculatrice graphique le fait d'un coup avec binomcdf ; à la main, on additionne les barres. Pour P(X ≥ k), prenez 1 moins P(X ≤ k-1).
- Que valent l'espérance et l'écart type ?
- L'espérance vaut n·p et l'écart type la racine de n·p·(1-p). Sur 20 lancers d'une pièce équilibrée, on attend donc 10 piles, avec une dispersion d'environ 2,24.
- Quand peut-on approcher la loi binomiale par la loi normale ?
- Quand n·p et n·(1-p) valent tous deux au moins 5. La distribution est alors assez symétrique pour que la cloche colle. Si p est très petit et n modeste, l'approximation échoue et il faut calculer en binomial.
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