Arbre de probabilité

Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir celle de toute la suite. Si un événement peut se produire par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins. La somme de tous les chemins vaut toujours 1, puisqu'il se passe forcément quelque chose.

Le long d'un chemin, on multiplie

Chaque branche porte la probabilité d'une seule étape. En suivant un chemin de gauche à droite, les étapes s'enchaînent, et la probabilité de toute la suite est le produit des branches traversées.

Mettez la probabilité à 0,50 : chaque chemin d'un arbre à deux étapes vaut alors 0,25, ce qui est logique puisque les quatre ordres sont aussi probables. Poussez à 0,80 et les quatre chemins s'écartent fortement, sans que leur somme ne change.

D'un chemin à l'autre, on additionne

Une question comme « exactement une réussite » ne désigne pas un chemin mais plusieurs. Avec deux étapes il y en a deux, avec trois étapes il y en a trois. On calcule chacun séparément, puis on additionne.

Activez cette couche et les chemins concernés s'allument. C'est là que se joue la confusion la plus fréquente aux interrogations : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre les chemins.

Au moins une fois : passez par le contraire

Pour « au moins une réussite » sur trois étapes, il faudrait additionner sept chemins. Or un seul chemin correspond au cas contraire : calculez la probabilité de zéro réussite et retirez-la de 1.

C'est la probabilité de l'événement contraire. Plus vous ajoutez d'étapes, plus l'écart de travail se creuse, et plus c'est cette méthode que l'énoncé attend.

Questions fréquentes

Comment construire un arbre de probabilité ?

Partez d'un point unique, tracez une branche par issue possible et notez la probabilité sur chaque branche. Recommencez pour l'étape suivante. À droite figure un chemin par ordre possible, et sa probabilité est le produit des branches parcourues.

Pourquoi multiplie-t-on le long d'un chemin ?

Parce que chaque étape ne garde qu'une part de ce qui reste. Avec une probabilité de 0,5, vous gardez la moitié des cas, puis la moitié de cette moitié, soit un quart. Cela vaut tant que les étapes ne s'influencent pas.

Quand faut-il additionner plutôt que multiplier ?

Dès qu'un événement peut se produire par plusieurs chemins. Multiplier correspond à « puis », additionner à « ou ». Deux réussites, c'est un seul chemin ; exactement une réussite, c'est plusieurs.

Comment calculer la probabilité d'au moins une réussite ?

Calculez la probabilité de zéro réussite et retirez-la de 1. Avec trois essais à 0,3, cela fait 1 moins 0,7 au cube, soit environ 0,657.

Cet arbre vaut-il aussi sans remise ?

Non. Cet outil répète le même essai, donc la probabilité reste identique sur chaque branche. Si vous tirez des billes sans les remettre, elle change après chaque tirage et chaque branche porte une valeur différente. La multiplication le long du chemin, elle, reste valable.

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