Outil de maths gratuit · Niveau: 5e et 6e secondaire
Logarithmes
Glissez x le long de la courbe. Sa hauteur est chaque fois l'exposant à appliquer à la base pour retomber sur x.
Un logarithme est un exposant. log(1000) = 3 ne dit rien d'autre que 10³ = 1000 : demander « le log de combien » revient à demander « à quelle puissance ». On écrit log sans indice pour la base 10 et ln pour la base e. Le logarithme de 0 ou d'un nombre négatif n'existe pas, car aucune puissance d'une base positive n'y arrive.
Lire la courbe comme un exposant
L'outil place un point sur la courbe et écrit à côté deux lignes qui disent exactement la même chose : log(x) = y, et la base à la puissance y vaut x. Tant que ces deux lignes semblent différentes, le chapitre reste difficile ; dès qu'elles se confondent, l'essentiel est acquis.
Mettez la base à 2 et glissez jusqu'à 8 : la hauteur vaut 3, puisque 2³ = 8. Avec la base 10, le même x donne environ 0,9, car une petite puissance de 10 est déjà grande. C'est aussi pour cela que la courbe monte d'autant plus lentement que la base est grande.
Les propriétés sont des écarts de hauteur
Activez la couche à deux points et regardez la distance verticale. Elle correspond à un doublement de x, et elle ne bouge pas quand vous déplacez x. C'est exactement log(2x) = log(x) + log(2).
Le même raisonnement donne les autres propriétés. Diviser devient soustraire, et un exposant passe devant : log(x³) vaut trois fois log(x), puisque vous empilez trois fois la même hauteur. Vu comme cela, il n'y a plus rien à mémoriser.
Pourquoi il n'y a rien à gauche de l'axe
Activez l'asymptote et la droite verticale x = 0 apparaît, sans que la courbe ne la touche jamais. Plus vous approchez de zéro, plus l'exposant plonge, sans jamais atteindre de valeur finale.
À gauche, il n'y a rien du tout, et ce n'est pas un défaut du dessin. Une base positive élevée à n'importe quelle puissance reste positive : aucun exposant ne donne zéro ni un nombre négatif. Demandez log(-5) à votre calculatrice et vous obtiendrez une erreur, pas un nombre.
Les logarithmes restent une liste de règles ?
Un tuteur montre d'où vient chaque propriété, à partir de vos propres exercices.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce qu'un logarithme, simplement ?
- La réponse à la question « à quelle puissance faut-il élever la base ». log(100) = 2 parce que 10² = 100. Le logarithme est donc lui-même un exposant, pas un nouveau type de nombre.
- Comment calculer un logarithme ?
- Si le nombre tombe juste sur une puissance de la base, cela se lit : log₂(32) = 5 car 2⁵ = 32. Sinon, utilisez la touche log ou ln de la calculatrice. Pour une autre base, appliquez le changement de base : log₃(7) vaut log(7) divisé par log(3).
- Quelle différence entre log et ln ?
- Seulement la base. log sans indice désigne la base 10, et ln le logarithme népérien de base e, environ 2,72. Toutes les propriétés sont identiques pour les deux.
- Quelles sont les propriétés des logarithmes ?
- Un produit devient une somme, un quotient une différence, et un exposant passe devant : log(a·b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) - log(b) et log(aⁿ) = n·log(a). Les trois ne valent que pour a et b strictement positifs.
- Pourquoi le logarithme d'un nombre négatif n'existe-t-il pas ?
- Parce qu'aucun exposant n'y parvient. Une base positive reste positive quelle que soit la puissance, donc on n'atteint jamais zéro ni un nombre négatif. Le domaine du logarithme est donc l'ensemble des nombres strictement positifs.
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