Résoudre une inéquation

Une inéquation se résout comme une équation, à une différence près : si vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif, le sens change. Pour -2x < 6, on divise par -2 et cela devient x > -3. Additionner et soustraire ne changent jamais le sens. La solution n'est pas un nombre mais toute une portion de l'axe.

La solution est une portion de l'axe

Une équation cherche un nombre. Une inéquation cherche tous les nombres qui conviennent, et ils sont en général infiniment nombreux. On dessine donc la réponse comme une portion coloriée de l'axe plutôt que comme un point.

Attention au point à la frontière. Avec < ou >, la frontière n'est pas solution et le point reste vide. Avec ≤ ou ≥, elle en fait partie et le point est plein. Cette petite différence est comptée aux interrogations.

Pourquoi le sens change

Prenez 2 < 5, c'est vrai. Multipliez les deux côtés par -1 et vous obtenez -2 et -5. Or -2 est maintenant plus grand que -5, puisque sur l'axe -2 est à droite de -5. Multiplier par un négatif reflète tout autour de zéro, et un reflet inverse l'ordre.

Voilà pourquoi le sens change exactement quand on divise ou multiplie par un négatif, et à aucun autre moment. Passez le coefficient de x en négatif et la portion coloriée bascule effectivement.

Résoudre graphiquement

Activez le graphique et deux droites apparaissent : l'oblique y = ax + b et l'horizontale y = c. L'inéquation demande où l'oblique passe sous ou au-dessus de l'horizontale, et c'est exactement la portion coloriée juste en dessous.

Les deux droites se coupent au point frontière, et de part et d'autre c'est tantôt l'une tantôt l'autre qui domine. On voit ainsi que la frontière vient de l'équation, et que l'inéquation ne fait que désigner le bon côté.

Questions fréquentes

Quand le sens d'une inéquation change-t-il ?

Uniquement en multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre négatif. Additionner, soustraire et diviser par un positif laissent le sens intact. C'est la seule règle qui diffère d'une équation.

Comment résoudre -2x < 6 ?

Divisez les deux membres par -2. Comme -2 est négatif, le sens change et vous obtenez x > -3. La solution est tout ce qui est à droite de -3, avec un point vide puisque -3 n'en fait pas partie.

Quelle différence entre un point vide et un point plein ?

Un point vide signifie que la frontière est exclue, ce qui va avec < et >. Un point plein signifie qu'elle est incluse, ce qui va avec ≤ et ≥.

Comment résoudre une inéquation graphiquement ?

Tracez les deux membres comme des fonctions et repérez où une courbe passe au-dessus ou en dessous de l'autre. Le point d'intersection donne la frontière, et le sens demandé indique de quel côté se trouve la solution.

Comment écrire l'ensemble solution ?

En général sous forme d'intervalle, par exemple ]-3, +∞[ pour x > -3. Un crochet fermé indique que la borne est incluse, un crochet ouvert qu'elle est exclue.

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