Outil de maths gratuit · Niveau: 3e et 4e secondaire
Factoriser un trinôme
Glissez les deux facteurs et regardez le rectangle. Les quatre morceaux réunis forment exactement la forme développée, et c'est de là que vient la règle.
Factoriser, c'est réécrire une somme sous forme de produit. Pour x² + bx + c, on cherche deux nombres dont la somme vaut b et le produit c, et alors x² + bx + c s'écrit (x + p)(x + q). Pour x² + 5x + 6, ce sont 2 et 3, puisque 2 + 3 = 5 et 2 · 3 = 6, donc (x + 2)(x + 3).
Pourquoi la somme et le produit marchent
Le rectangle mesure (x + p) de large et (x + q) de haut. Son aire s'écrit de deux façons : longueur fois largeur, ou somme des quatre morceaux qui le composent. Les deux doivent coïncider, et cette égalité est la factorisation.
Regardez les deux morceaux allongés. Ils mesurent tous deux x de long, et ensemble p + q de large, donc ils valent (p + q)·x. Le coin en bas à droite fait p sur q, donc p · q. Voilà l'origine de la règle : le nombre du milieu est la somme, le dernier est le produit.
Chercher d'abord une mise en évidence
Avant la somme et le produit, vérifiez toujours si chaque terme a un facteur commun. Dans 2x² + 10x + 12, un 2 se cache partout : mettez-le en évidence pour obtenir 2(x² + 5x + 6). On factorise ensuite ce qui reste entre parenthèses.
Sauter cette étape est l'erreur la plus fréquente du chapitre. La factorisation obtenue n'est alors pas complète, et cela coûte des points. En Belgique, cette première étape s'appelle la mise en évidence.
Quand la somme et le produit échouent
Il arrive qu'aucun couple d'entiers n'ait à la fois la bonne somme et le bon produit. L'expression n'est alors pas factorisable sur les entiers, et on passe au discriminant : il donne les racines, et avec elles les facteurs s'écrivent a(x - x₁)(x - x₂).
S'il y a un moins, au moins un des deux nombres est négatif. Pour x² - 5x + 6, on prend 2 et 3 avec deux signes moins, car -2 + -3 = -5 et -2 · -3 = 6. Pour x² + x - 6, les signes diffèrent : 3 et -2.
La factorisation reste une devinette ?
Un tuteur reprend la méthode sur vos propres exercices, jusqu'à ce que les nombres sautent aux yeux.
Questions fréquentes
- Que veut dire factoriser ?
- Réécrire une somme sous forme de produit. Au lieu de x² + 5x + 6, on écrit (x + 2)(x + 3). C'est utile parce qu'un produit est nul dès qu'un de ses facteurs l'est, ce qui donne les solutions immédiatement.
- Quelle est la méthode pour factoriser ?
- Commencez par une mise en évidence si elle est possible. Vérifiez ensuite s'il s'agit d'un produit remarquable, par exemple a² - b². Sinon, cherchez deux nombres de somme b et de produit c. Si cela échoue, utilisez le discriminant.
- Comment factoriser quand il y a un signe moins ?
- Le produit indique si les signes sont identiques. Si c est positif, les deux nombres ont le même signe, et b dit lequel. Si c est négatif, les signes diffèrent, et le plus grand des deux prend le signe de b.
- Et si le coefficient de x² n'est pas 1 ?
- Mettez-le en évidence si vous le pouvez. Sinon, comme dans 2x² + 7x + 3, passez par le discriminant pour trouver les racines et écrivez a(x - x₁)(x - x₂). En Belgique, le schéma de Horner sert aussi à cela.
- Pourquoi un moins dans le facteur pour une racine positive ?
- Parce que (x - 3) s'annule quand x vaut 3. Le facteur et la racine portent toujours des signes opposés : (x + 2) correspond à la racine -2. C'est l'erreur de signe la plus courante.
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