Stelsels oplossen

Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen heeft precies één oplossing als de twee rechten elkaar snijden, geen oplossing als ze evenwijdig lopen, en oneindig veel oplossingen als het twee keer dezelfde rechte is. Je kunt kiezen uit drie methodes: substitutie, combinatie of gelijkstelling. Ze geven alle drie hetzelfde antwoord, want ze beschrijven hetzelfde snijpunt.

Drie methodes, één snijpunt

Substitutie, combinatie en gelijkstelling voelen als drie losse trucjes uit drie verschillende lessen. Ze zoeken alle drie hetzelfde punt: de plaats waar beide vergelijkingen tegelijk kloppen.

Wissel van methode in de tool en de grafiek verandert niet. Alleen de rekenweg eronder verandert. Dat is precies het idee: kies de methode die bij de getallen past. Staat er ergens een 1 voor x, dan is substitutie het snelst. Staan de x-termen al bijna tegenover elkaar, neem dan combinatie.

Geen oplossing is geen fout

Zet b₂ zo dat de tweede rechte evenwijdig komt te liggen met de eerste. De twee rechten lopen dan naast elkaar zonder elkaar ooit te raken, en het stelsel heeft geen oplossing.

In je berekening merk je dat aan een onmogelijke regel zoals 0 = 5. Dat is geen rekenfout, dat is het antwoord. Schuif daarna c₂ tot de twee rechten samenvallen en je krijgt 0 = 0: nu klopt elk punt van de rechte, dus zijn er oneindig veel oplossingen.

De determinant zegt het vooraf

Onderaan staat a₁b₂ - a₂b₁. Zolang dat getal niet nul is, snijden de rechten elkaar en is er precies één oplossing.

Wordt het nul, dan lopen ze evenwijdig en moet je nog even kijken welk van de twee gevallen je hebt. Handig als controle: reken de determinant eerst uit en je weet meteen of het de moeite is om verder te rekenen.

Veelgestelde vragen

Wat is de substitutiemethode?

Je zondert in één vergelijking een onbekende af, bijvoorbeeld x = (c - by) / a, en vult die uitdrukking in de andere vergelijking in. Dan blijft er één vergelijking met één onbekende over.

Wanneer gebruik je de combinatiemethode?

Als de coëfficiënten van x of y makkelijk tegenover elkaar te zetten zijn. Je vermenigvuldigt beide vergelijkingen zodat één onbekende wegvalt bij optellen of aftrekken. Bij grotere getallen is dit meestal netter dan substitutie.

Wat is het verschil met de gelijkstellingsmethode?

Bij gelijkstelling schrijf je beide vergelijkingen als y = ... en stel je de rechterleden aan elkaar gelijk. Het werkt goed als beide vergelijkingen al bijna in die vorm staan.

Hoe weet je dat een stelsel geen oplossing heeft?

Als je tijdens het rekenen op iets onmogelijks uitkomt, zoals 0 = 5. Grafisch betekent dat twee evenwijdige rechten. Kom je op 0 = 0 uit, dan vallen de rechten samen en zijn er oneindig veel oplossingen.

Kun je een stelsel ook grafisch oplossen?

Ja, en dat is wat deze tool toont. Je tekent beide rechten en leest het snijpunt af. Voor mooie gehele oplossingen werkt dat prima, maar voor breuken lees je het snijpunt nooit exact af. Reken het dan na met een van de drie methodes.

Meer interactieve wiskundetools

• Richtingscoëfficiënt →Sleep twee punten en zie Δy/Δx als een trap, met de vergelijking en de loodrechte erbij.
• Discriminant en parabool →Schuif aan a, b en c en zie D bepalen of de parabool de as snijdt, raakt of mist.
• Goniometrische cirkel →Sleep de hoek rond en zie sin, cos en tan als lengtes, met de exacte waarden erbij.