Gratis wiskundetool · Niveau: 3de en 4de middelbaar
Discriminant en parabool
Schuif aan a, b en c en kijk wat de discriminant eigenlijk meet: of de parabool de x-as snijdt, raakt of helemaal mist.
De discriminant van ax² + bx + c is D = b² - 4ac. Is D groter dan nul, dan snijdt de parabool de x-as in twee punten en zijn er twee oplossingen. Is D gelijk aan nul, dan raakt ze de as en is er één oplossing. Is D kleiner dan nul, dan blijft de parabool er volledig boven of onder en zijn er geen reële oplossingen.
De drie gevallen zijn één beweging
In je cursus staan drie aparte gevallen onder elkaar. Op het scherm is het één doorlopende beweging: schuif c traag omhoog en de parabool komt omhoog, de twee snijpunten kruipen naar elkaar toe, ze vallen samen, en dan is de parabool los van de as.
Het moment waarop de twee oplossingen samenvallen, is exact het moment waarop D nul wordt. Daar bestaat geen aparte regel voor, het is gewoon de tussenstap.
Waarom de wortel het teken van D bepaalt
In de oplossingsformule staat √D. Uit een negatief getal kun je binnen de reële getallen geen vierkantswortel trekken, en dat is de hele reden dat D negatief betekent: geen oplossingen.
Zet a op nul en de parabool wordt een rechte. De formule met 2a in de noemer werkt dan niet meer, want je zou door nul delen. Daarom staat er altijd bij dat a niet nul mag zijn.
De top ligt altijd tussen de twee wortels
De symmetrieas loopt door de top, op x = -b / (2a). Zijn er twee oplossingen, dan ligt de top er precies middenin.
Dat is een snelle controle bij oefeningen: reken je wortels uit, neem hun gemiddelde en je hebt de x van de top zonder verder te rekenen.
Vierkantsvergelijkingen blijven struikelen?
Boek een les van 1 op 1 met een tutor die wiskunde geeft in het Vlaamse secundair.
Veelgestelde vragen
- Hoe bereken je de discriminant?
- Met D = b² - 4ac, waarbij a, b en c de coëfficiënten zijn van ax² + bx + c = 0. Let op het teken van b en c, dat is de fout die het vaakst gemaakt wordt.
- Wat betekent het als de discriminant nul is?
- De parabool raakt de x-as in precies één punt. Er is één oplossing, en die valt samen met de top. In de tool zie je de twee wortels naar elkaar toe kruipen tot ze één punt worden.
- Waarom zijn er geen oplossingen als D negatief is?
- Omdat je in de formule de wortel van D moet nemen, en een negatief getal heeft geen reële vierkantswortel. Grafisch: de parabool ligt volledig boven of volledig onder de x-as.
- Wat gebeurt er als a nul is?
- Dan is het geen vierkantsvergelijking meer maar een gewone eerstegraadsvergelijking, en de grafiek is een rechte. Schuif a naar nul in de tool en je ziet de kromming verdwijnen.
Meer interactieve wiskundetools
- Goniometrische cirkel →Sleep de hoek rond en zie sin, cos en tan als lengtes, met de exacte waarden erbij.
- Afgeleide en raaklijn →Sleep het punt en zie de raaklijn kantelen, met de koorde die naar de raaklijn kruipt.
- Integraal en riemannsom →Schuif het aantal rechthoeken omhoog en zie de som naar de exacte oppervlakte kruipen.