Gratis wiskundetool · Niveau: 3de tot 6de middelbaar
Goniometrische cirkel
Sleep het punt rond de cirkel en kijk wat sinus, cosinus en tangens eigenlijk zijn: gewoon lengtes op een tekening.
Op de goniometrische cirkel (straal 1) is de cosinus van een hoek de x-coördinaat van het punt, en de sinus de y-coördinaat. De tangens lees je af op de raaklijn x = 1. Daarom zit sinus altijd tussen -1 en 1: verder dan de cirkel kan het punt niet.
Waarom sin en cos nooit groter worden dan 1
De cirkel heeft straal 1. Het punt dat je sleept ligt dus altijd precies op afstand 1 van de oorsprong. De cosinus is de horizontale afstand tot de y-as, de sinus de verticale afstand tot de x-as. Geen van beide kan groter zijn dan de straal zelf.
Dat is meteen de snelste controle op een examen. Krijg je sin(x) = 1,4 als antwoord, dan is er iets misgelopen, want zo ver reikt de cirkel niet.
Waar de tangens vandaan komt
Trek de straal door tot hij de verticale lijn x = 1 raakt. De hoogte waarop hij die lijn snijdt, is de tangens. Vandaar de naam: die lijn raakt de cirkel, ze is de raaklijn.
Zet de hoek op 90 graden en de straal loopt evenwijdig met die lijn. Ze snijden elkaar nooit meer, en daarom bestaat tan(90°) niet. Dat is geen regel om vanbuiten te leren, je ziet het gewoon gebeuren.
Van cirkel naar sinusgrafiek
De grafiek onderaan is geen aparte leerstof. Het is exact dezelfde beweging, alleen uitgerold: horizontaal staat de hoek, verticaal de hoogte van je punt.
Sleep rustig één keer rond en volg de twee bolletjes op de grafiek mee. De sinusgolf is letterlijk het spoor dat je punt achterlaat.
De exacte waarden
Op 30°, 45°, 60° en de veelvouden daarvan klikt het punt vast en verschijnt de exacte waarde in plaats van een kommagetal. Dat zijn precies de hoeken die je op een toets zonder rekenmachine moet kunnen.
Kijk daarbij naar het kwadrant rechts in beeld. De tekens van sin en cos volgen gewoon uit waar het punt staat, dus je hoeft geen ezelsbruggetje te onthouden.
Goniometrie blijft lastig?
Boek een les van 1 op 1 met een tutor die wiskunde geeft aan leerlingen uit het Vlaamse secundair.
Veelgestelde vragen
- Wat is de goniometrische cirkel precies?
- Een cirkel met straal 1 rond de oorsprong. Elk punt erop hoort bij een hoek, en de coördinaten van dat punt zijn (cos α, sin α). Zo wordt goniometrie meetkunde in plaats van een lijst formules.
- Waarom noemt men het ook de eenheidscirkel?
- Omdat de straal precies één eenheid is. Dat maakt de rekensom simpel: de coördinaten van het punt zijn meteen de cosinus en de sinus, zonder ergens door de straal te moeten delen.
- Waarom bestaat tan(90°) niet?
- De tangens lees je af op de raaklijn x = 1. Bij 90 graden staat de straal recht omhoog, evenwijdig met die lijn, dus er is geen snijpunt. Zet de hoek in de tool vlak naast 90° en je ziet de waarde wegschieten.
- Hoe onthoud ik de tekens per kwadrant?
- Dat hoeft niet als je de cirkel voor je ziet. Cosinus is de x-coördinaat, dus negatief links. Sinus is de y-coördinaat, dus negatief onderaan. De tool toont het kwadrant en de tekens terwijl je sleept.
- Is deze tool gratis?
- Ja, gratis en zonder account. Wil je er iemand bij die meekijkt terwijl je oefent, dan kun je een tutor boeken voor een les van 1 op 1.
Meer interactieve wiskundetools
- Afgeleide en raaklijn →Sleep het punt en zie de raaklijn kantelen, met de koorde die naar de raaklijn kruipt.
- Integraal en riemannsom →Schuif het aantal rechthoeken omhoog en zie de som naar de exacte oppervlakte kruipen.
- Normale verdeling →Sleep de grenzen over de klokcurve en lees kans en z-scores direct af.