Gratis wiskundetool · Niveau: 5de en 6de middelbaar
Afgeleide en raaklijn
Sleep het punt over de kromme en kijk hoe de raaklijn meekantelt. De afgeleide is niets anders dan de helling van die lijn.
De afgeleide van een functie in een punt is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Je vindt hem door de helling te nemen van de koorde tussen twee punten en die twee punten naar elkaar toe te schuiven. Hoe kleiner h wordt, hoe dichter de koorde bij de raaklijn komt.
Waarom h nooit nul mag zijn
De helling van een koorde is (f(x+h) - f(x)) / h. Zet h op nul en je deelt door nul, dus dat mag niet. Maar je mag h wel zo klein maken als je wilt.
Schuif de schuifknop voor h naar beneden en volg de twee getallen rechts. De koorde en de raaklijn kruipen naar elkaar toe zonder ooit samen te vallen. Dat "naartoe kruipen" is precies wat een limiet is, en daarom staat er lim h→0 in de definitie.
De afgeleide is zelf een functie
In elk punt van de kromme hoort een andere helling. Verzamel al die hellingen en je hebt een nieuwe functie: de afgeleide.
Dat is wat de tweede grafiek toont. Sleep het punt naar links en rechts en let op waar de afgeleide door nul gaat. Precies daar ligt een top of een dal van de oorspronkelijke functie, want daar is de raaklijn horizontaal.
Wat de tekens je vertellen
Is de afgeleide positief, dan stijgt de functie. Is ze negatief, dan daalt ze. Dat is de hele basis van een tekenonderzoek, en het is gewoon af te lezen van de richting waarin de raaklijn wijst.
Probeer f(x) = x³ - 3x. Tussen de twee toppen is de raaklijn duidelijk dalend en staat de afgeleide onder de as. Dat verband hoef je niet te onthouden als je het één keer hebt zien bewegen.
Analyse blijft moeilijk?
Boek een les van 1 op 1 met een tutor die de leerstof van de derde graad kent.
Veelgestelde vragen
- Wat is een afgeleide in gewone taal?
- De steilheid van een grafiek op een bepaalde plek. Leg een liniaal tegen de kromme zodat hij ze net raakt: de helling van die liniaal is de afgeleide daar.
- Wat is het verschil tussen een koorde en een raaklijn?
- Een koorde snijdt de kromme in twee punten, een raaklijn raakt ze in één punt. Laat je de twee snijpunten van de koorde naar elkaar toe schuiven, dan krijg je in de limiet de raaklijn.
- Hoe vind ik de vergelijking van de raaklijn?
- Je hebt een punt en een richtingscoëfficiënt nodig. Het punt is (a, f(a)), de richtingscoëfficiënt is f’(a). Invullen in y = f’(a)(x - a) + f(a) en klaar.
- Waarom is de afgeleide nul in een top?
- In een top gaat de functie van stijgen naar dalen. Op dat omslagpunt ligt de raaklijn horizontaal, en een horizontale lijn heeft richtingscoëfficiënt nul.
Meer interactieve wiskundetools
- Integraal en riemannsom →Schuif het aantal rechthoeken omhoog en zie de som naar de exacte oppervlakte kruipen.
- Normale verdeling →Sleep de grenzen over de klokcurve en lees kans en z-scores direct af.
- Merkwaardige producten →Zie (a+b)², (a-b)² en a²-b² als oppervlaktes, en waarom die 2ab er echt staat.