Gratis wiskundetool · Niveau: 2de en 3de middelbaar
Merkwaardige producten
De klassieke fout is (a+b)² = a² + b². Teken het vierkant en je ziet meteen wat er ontbreekt.
Bij (a+b)² teken je een vierkant met zijde a+b. Dat vierkant valt uiteen in vier stukken: a², twee rechthoeken van a bij b, en b². Samen geeft dat a² + 2ab + b². De twee rechthoeken zijn precies het stuk dat je vergeet als je a² + b² schrijft.
Waarom die 2ab er echt staat
Zet a op 5 en b op 3. Het grote vierkant heeft zijde 8, dus oppervlakte 64. Reken je a² + b², dan kom je op 25 + 9 = 34. Er ontbreekt 30, en dat is exact 2 keer 15, de twee oranje rechthoeken.
Je kunt deze fout dus altijd zelf betrappen met getallen. Vul twee willekeurige waarden in en kijk of beide kanten hetzelfde geven.
Waarom (a-b)² lastiger aanvoelt
Bij het minteken vertrek je van het grote vierkant a² en haal je er twee stroken van a bij b af. Maar in de hoek waar die twee stroken elkaar overlappen, heb je hetzelfde stukje twee keer weggehaald.
Dat overlappende hoekje is b². Je moet het één keer terugtellen, en daarom eindigt de formule op plus b² en niet op min b². Zet de tool op (a-b)² en het rode hoekje is precies dat stuk.
Het verschil van twee kwadraten
Bij (a+b)(a-b) knip je een vierkantje b² uit de hoek van het grote vierkant a². Wat overblijft heeft oppervlakte a² - b², en dat kun je in één rechthoek van (a+b) bij (a-b) leggen.
Deze vorm is de nuttigste van de drie om te herkennen bij ontbinden in factoren. Zie je x² - 9, dan is dat (x+3)(x-3), zonder iets uit te rekenen.
Algebra blijft haperen?
Boek een les van 1 op 1 met een tutor die wiskunde geeft in het Vlaamse secundair.
Veelgestelde vragen
- Waarom is (a+b)² niet gelijk aan a² + b²?
- Omdat er twee rechthoeken van a bij b tussen zitten. Het vierkant met zijde a+b bestaat uit vier stukken, niet uit twee. Samen geven ze a² + 2ab + b².
- Wat zijn de drie merkwaardige producten?
- (a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b², en (a+b)(a-b) = a² - b². De eerste twee verschillen alleen in het teken van de middenterm.
- Waarom staat er plus b² in (a-b)²?
- Omdat je bij het aftrekken van de twee stroken het hoekstukje twee keer weghaalt. Eén keer terugtellen herstelt dat, en dat terugtellen is de plus b².
- Hoe herken ik ze bij ontbinden in factoren?
- Zoek naar twee kwadraten. Staat er een min tussen, dan is het het verschil van twee kwadraten. Staan er drie termen en is de middelste twee keer het product van de wortels van de buitenste, dan is het een volkomen kwadraat.
Meer interactieve wiskundetools
- Stelling van Pythagoras →Sleep de driehoek en zie de twee kleine vierkanten samen altijd het grote vullen.
- Discriminant en parabool →Schuif aan a, b en c en zie D bepalen of de parabool de as snijdt, raakt of mist.
- Goniometrische cirkel →Sleep de hoek rond en zie sin, cos en tan als lengtes, met de exacte waarden erbij.