Kansboom

In een kansboom vermenigvuldig je de kansen langs één pad om de kans op die hele volgorde te vinden. Wil je de kans op een gebeurtenis die via meerdere paden kan gebeuren, dan tel je de kansen van die paden op. Alle paden samen leveren altijd precies 1 op, want er moet iets gebeuren.

Langs een pad vermenigvuldig je

Elke tak draagt de kans op die ene stap. Volg je een pad van links naar rechts, dan gebeurt stap na stap, en de kans op die hele reeks is het product van de takken die je passeert.

Zet de kans op 0,50 en kijk wat er gebeurt: elk pad in een boom met twee stappen krijgt 0,25. Dat klopt, want er zijn vier even waarschijnlijke volgordes. Schuif de kans naar 0,80 en de vier paden lopen ver uit elkaar, terwijl hun som gelijk blijft.

Over verschillende paden tel je op

Een vraag als "precies één keer raak" wijst niet naar één pad maar naar meerdere. Bij twee stappen zijn dat er twee, bij drie stappen zijn dat er drie. Je rekent elk pad apart uit en telt de uitkomsten op.

Zet die laag aan en de betrokken paden lichten op. Dit is meteen het verschil tussen vermenigvuldigen en optellen dat op toetsen het vaakst misgaat: langs een pad vermenigvuldigen, over paden optellen.

Minstens één keer: reken de rest uit

Voor "minstens één keer raak" zou je bij drie stappen zeven paden moeten optellen. Er is één pad waar het níét gebeurt, en dat is veel sneller: bereken de kans op nul keer raak en trek die van 1 af.

Dat heet de complementregel. Hoe meer stappen je toevoegt, hoe groter het verschil in werk wordt, en hoe vaker de regel op een examen de bedoeling is.

Veelgestelde vragen

Hoe maak je een kansboom?

Teken vanaf één startpunt een tak per mogelijke uitkomst en schrijf de kans op elke tak. Herhaal dat voor elke volgende stap. Achteraan staat één pad per mogelijke volgorde, en de kans van dat pad is het product van de takken erheen.

Waarom vermenigvuldig je de kansen langs een pad?

Omdat elke stap een deel van wat overblijft wegneemt. Bij een kans van 0,5 haal je de helft van de gevallen, en daarvan opnieuw de helft, dus samen een kwart. Dat werkt zolang de stappen elkaar niet beïnvloeden.

Wanneer moet je kansen optellen in plaats van vermenigvuldigen?

Optellen doe je zodra een gebeurtenis via meer dan één pad kan gebeuren. Vermenigvuldigen hoort bij "en dan", optellen bij "of". Twee keer raak is één pad, precies één keer raak zijn er meerdere.

Hoe bereken je de kans op minstens één keer?

Reken de kans uit dat het nul keer gebeurt en trek die van 1 af. Bij drie pogingen met kans 0,3 is dat 1 min 0,7 tot de derde macht, dus ongeveer 0,657.

Geldt deze boom ook zonder terugleggen?

Nee. Deze tool herhaalt telkens dezelfde poging, dus de kans blijft op elke tak hetzelfde. Trek je knikkers uit een zak zonder ze terug te leggen, dan verandert de kans na elke trekking en moet je op elke tak een andere waarde schrijven. Vermenigvuldigen langs het pad blijft wel gewoon gelden.

Meer interactieve wiskundetools

• Binomiale verdeling →Schuif n, p en k en zie de staafjes en de formule, met de normale benadering erbij.
• Boxplot en spreidingsmaten →Typ je eigen getallen en zie de boxplot, de kwartielen en beide standaardafwijkingen live meebewegen.
• Normale verdeling →Sleep de grenzen over de klokcurve en lees kans en z-scores direct af.