Gratis wiskundetool · Niveau: 6de middelbaar
Binomiale verdeling
Schuif het aantal pogingen, de kans per poging en het aantal successen. Het opgelichte staafje is de kans die je zoekt, en de formule eronder toont hoe ze opgebouwd is.
De binomiale verdeling geeft de kans op precies k successen bij n onafhankelijke pogingen met telkens dezelfde kans p. De formule is P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ. Daarin is C(n,k) het aantal volgordes waarin die k successen kunnen vallen, en de rest is de kans op één zo een volgorde.
Waar C(n,k) vandaan komt
Teken je hetzelfde experiment als kansboom, dan heeft elk pad met k successen exact dezelfde kans: k keer p en de rest keer 1-p. Ze verschillen alleen in volgorde.
Dus hoef je die kans maar één keer uit te rekenen en daarna te tellen hoeveel paden er zijn. Dat aantal is C(n,k), en meer dan een telgetal is het niet. Bij drie pogingen met precies één succes zijn er drie paden, en C(3,1) is inderdaad 3.
Hoogstens en minstens
Een vraag als "hoogstens 3 keer" gaat niet over één staafje maar over alle staafjes tot en met 3. Zet de cumulatieve laag aan en die worden samen gekleurd, met hun som ernaast.
Voor "minstens 4 keer" gebruik je dat resultaat gewoon opnieuw: alles wat niet hoogstens 3 is, is minstens 4, dus 1 min de cumulatieve kans. Dat scheelt een hoop optellen zodra n groot wordt.
Wanneer de normale verdeling mag invallen
Zet n hoog en de staafjes vormen een klokvorm. Dat is geen toeval, en het is precies waarom je een binomiale kans mag benaderen met een normale verdeling met gemiddelde n·p en standaardafwijking de wortel uit n·p·(1-p).
De vuistregel is dat zowel n·p als n·(1-p) minstens 5 zijn. Zet p op 0,05 en houd n klein, en je ziet waarom: de verdeling staat dan scheef tegen de linkerrand, terwijl de normale kromme netjes symmetrisch blijft en er dus naast zit. De tool toont de kromme in beide gevallen, en zegt erbij of de regel opgaat.
Loopt het vast bij kansverdelingen?
Een tutor gaat je oefeningen stap voor stap door, van de formule tot de rekenmachine.
Veelgestelde vragen
- Wanneer gebruik je de binomiale verdeling?
- Als je hetzelfde experiment een vast aantal keer herhaalt, elke poging maar twee uitkomsten heeft, de kans elke keer gelijk blijft en de pogingen elkaar niet beïnvloeden. Trekken zonder terugleggen valt er dus buiten, want dan verandert p onderweg.
- Wat is de formule van de binomiale verdeling?
- P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ. C(n,k) telt het aantal volgordes, pᵏ hoort bij de k successen en (1-p)ⁿ⁻ᵏ bij de mislukkingen die overblijven.
- Hoe bereken je P(X ≤ k)?
- Tel de kansen van k = 0 tot en met jouw k bij elkaar op. Met de grafische rekenmachine gaat dat in één keer met binomcdf; met de hand tel je de staafjes op. Voor P(X ≥ k) neem je 1 min P(X ≤ k-1).
- Wat zijn de verwachtingswaarde en de standaardafwijking?
- De verwachtingswaarde is n·p en de standaardafwijking is de wortel uit n·p·(1-p). Bij 20 worpen met een eerlijke munt verwacht je dus 10 keer kop, met een spreiding van ongeveer 2,24.
- Wanneer mag je de binomiale verdeling benaderen met de normale?
- Als n·p en n·(1-p) allebei minstens 5 zijn. Dan is de verdeling voldoende symmetrisch en ligt de klokkromme er dicht genoeg bij. Is p heel klein en n niet groot, dan klopt de benadering niet en reken je gewoon binomiaal.