Sinusregel en cosinusregel

De sinusregel zegt dat a/sin A = b/sin B = c/sin C in elke driehoek, dus zijden en overstaande hoeken gaan altijd samen op. De cosinusregel zegt dat c² = a² + b² - 2ab·cos C. Ken je twee zijden en de hoek ertussen, dan gebruik je de cosinusregel. Ken je een zijde met zijn overstaande hoek, dan gebruik je de sinusregel.

De cosinusregel is Pythagoras met een correctie

Zet hoek C op 90 graden en kijk naar de term -2ab·cos C. Die wordt nul, want cos 90° = 0, en wat overblijft is c² = a² + b². Dat is letterlijk de stelling van Pythagoras.

Sleep C daarna scherper en de term wordt negatief: de overstaande zijde wordt korter dan Pythagoras zou voorspellen. Maak de hoek stomp en de term wordt positief, dus de zijde wordt langer. De cosinusregel is dus geen tweede formule om te onthouden, maar dezelfde formule met een correctie voor hoeken die niet recht zijn.

Waarom de drie breuken altijd gelijk zijn

Zet de tool op de sinusregel en de drie verhoudingen a/sin A, b/sin B en c/sin C staan naast elkaar. Sleep een hoekpunt waarheen je wilt: ze blijven aan elkaar gelijk.

Dat gedeelde getal is niet toevallig. Het is de diameter van de cirkel door de drie hoekpunten. Daarom is de grootste zijde altijd de zijde tegenover de grootste hoek, en dat is meteen een snelle controle op je antwoord.

Welke regel kies je?

Kijk naar wat je gegeven hebt. Twee zijden met de hoek ertussen, of drie zijden: cosinusregel. Een zijde met de hoek er recht tegenover, plus nog iets: sinusregel.

Eén valkuil bij de sinusregel: sin 30° en sin 150° zijn allebei 0,5, dus je rekenmachine geeft je maar één van de twee mogelijke hoeken terug. Als de driehoek er op je tekening stomp uitziet en je krijgt een scherpe hoek, trek dan af van 180 graden. Sleep in de tool een hoekpunt tot een hoek boven de 90 gaat om te zien wanneer dit speelt.

Veelgestelde vragen

Wat is de sinusregel?

In elke driehoek geldt a/sin A = b/sin B = c/sin C. Elke zijde staat dus in dezelfde verhouding tot de sinus van de hoek er recht tegenover. Je gebruikt hem als je een zijde met zijn overstaande hoek kent.

Wat is de cosinusregel?

c² = a² + b² - 2ab·cos C, waarbij C de hoek is tussen de zijden a en b. Je gebruikt hem als je twee zijden en de hoek ertussen kent, of als je alle drie de zijden kent en een hoek zoekt.

Werkt de cosinusregel ook in een rechthoekige driehoek?

Ja. Bij C = 90° is cos C gelijk aan nul, dus valt de laatste term weg en blijft c² = a² + b² over. Pythagoras is gewoon het bijzondere geval van de cosinusregel.

Hoe bereken je een hoek als je drie zijden kent?

Herschrijf de cosinusregel naar cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) en neem daarna de boogcosinus. De hoek die je zo krijgt ligt altijd tussen 0 en 180 graden, dus hier heb je het probleem van de twee mogelijke hoeken niet.

Waarom geeft mijn rekenmachine soms de verkeerde hoek bij de sinusregel?

Omdat een scherpe en een stompe hoek dezelfde sinus kunnen hebben. De boogsinus geeft je altijd de scherpe. Vermoed je een stompe hoek, reken dan 180 graden min het antwoord en kijk of die driehoek klopt met je tekening.

Meer interactieve wiskundetools

• Afgeleide en raaklijn →Sleep het punt en zie de raaklijn kantelen, met de koorde die naar de raaklijn kruipt.
• Integraal en riemannsom →Schuif het aantal rechthoeken omhoog en zie de som naar de exacte oppervlakte kruipen.
• Boxplot en spreidingsmaten →Typ je eigen getallen en zie de boxplot, de kwartielen en beide standaardafwijkingen live meebewegen.