Ontbinden in factoren

Ontbinden in factoren betekent een som terugschrijven als een product. Bij x² + bx + c zoek je twee getallen die samen b geven en vermenigvuldigd c, en dan is x² + bx + c gelijk aan (x + p)(x + q). Bij x² + 5x + 6 zijn dat 2 en 3, want 2 + 3 = 5 en 2 · 3 = 6, dus je schrijft (x + 2)(x + 3).

Waarom som en product werken

De rechthoek is (x + p) breed en (x + q) hoog. Zijn oppervlakte kun je op twee manieren opschrijven: als lengte maal breedte, of als de som van de vier stukken waarin hij verdeeld is. Die twee moeten gelijk zijn, en dat is precies de ontbinding.

Kijk naar de twee langwerpige stukken. Ze zijn allebei x lang, en samen zijn ze p + q breed, dus samen leveren ze (p + q)·x. Het hoekje rechtsonder is p op q, dus p · q. Daar komt de regel vandaan: het middelste getal is de som, het laatste is het product.

Eerst kijken of er een gemeenschappelijke factor is

Voor je met som en product begint, kijk je altijd of elke term een gemeenschappelijke factor heeft. Bij 2x² + 10x + 12 zit er overal een 2 in, dus haal je die eerst buiten haakjes: 2(x² + 5x + 6). Pas daarna ontbind je wat tussen de haakjes staat.

Die stap overslaan is de meest gemaakte fout in dit hoofdstuk. Je krijgt dan wel een ontbinding, maar niet de volledige, en op een toets kost dat punten. In Vlaanderen heet die eerste stap de gemeenschappelijke factor buiten haakjes brengen.

Als som en product niet lukken

Soms bestaan er geen twee gehele getallen met de juiste som en het juiste product. Dan is de uitdrukking niet te ontbinden over de gehele getallen, en ga je verder met de discriminant: die geeft je de nulpunten, en met die nulpunten schrijf je de factoren als a(x - x₁)(x - x₂).

Staat er een min in de uitdrukking, dan is minstens een van de twee getallen negatief. Bij x² - 5x + 6 zoek je 2 en 3 met allebei een minteken, want -2 + -3 = -5 en -2 · -3 = 6. Bij x² + x - 6 hebben ze verschillende tekens: 3 en -2.

Veelgestelde vragen

Wat betekent ontbinden in factoren?

Een som omschrijven naar een product. In plaats van x² + 5x + 6 schrijf je (x + 2)(x + 3). Dat is handig omdat een product nul is zodra een van de factoren nul is, en zo vind je de oplossingen meteen.

Wat is het stappenplan om te ontbinden?

Haal eerst een eventuele gemeenschappelijke factor buiten haakjes. Kijk daarna of het een merkwaardig product is, bijvoorbeeld a² - b². Lukt dat niet, zoek dan twee getallen met som b en product c. Lukt ook dat niet, gebruik dan de discriminant.

Hoe ontbind je als er een min in staat?

Het product zegt je of de tekens gelijk zijn. Is c positief, dan hebben beide getallen hetzelfde teken, en b vertelt welk. Is c negatief, dan hebben ze verschillende tekens, en het grootste getal krijgt het teken van b.

Wat als de coëfficiënt voor x² niet 1 is?

Haal hem eerst buiten haakjes als dat kan. Kan dat niet, bijvoorbeeld bij 2x² + 7x + 3, gebruik dan de discriminant om de nulpunten te vinden en schrijf de ontbinding als a(x - x₁)(x - x₂). In Vlaanderen zie je hiervoor ook het schema van Horner.

Waarom staat er een min in de factor bij een positief nulpunt?

Omdat (x - 3) nul wordt als x gelijk is aan 3. De factor en het nulpunt hebben altijd tegengestelde tekens: (x + 2) hoort bij het nulpunt -2. Dat is de tekenfout die het vaakst gemaakt wordt.

Meer interactieve wiskundetools

• Discriminant en parabool →Schuif aan a, b en c en zie D bepalen of de parabool de as snijdt, raakt of mist.
• Merkwaardige producten →Zie (a+b)², (a-b)² en a²-b² als oppervlaktes, en waarom die 2ab er echt staat.
• Vergelijkingen oplossen →Los op met de balansmethode en zie waarom je aan beide leden hetzelfde doet.