Logaritmen

Een logaritme is een exponent. log(1000) = 3 betekent niets anders dan 10³ = 1000, dus de vraag "log van hoeveel" is de vraag "tot welke macht". Bij ons schrijf je log zonder grondtal voor grondtal 10 en ln voor grondtal e. De logaritme van 0 of van een negatief getal bestaat niet, want geen enkele macht van een positief grondtal komt daar ooit uit.

Lees de grafiek als een exponent

De tool zet één punt op de kromme en schrijft er twee dingen bij die precies hetzelfde zeggen: log(x) = y en grondtal tot de macht y is x. Zolang die twee regels als twee verschillende dingen voelen, blijft het hoofdstuk lastig; zodra ze samenvallen, is het grootste deel klaar.

Zet het grondtal op 2 en schuif naar 8. De hoogte is 3, want 2³ = 8. Zet het grondtal op 10 en dezelfde x geeft ongeveer 0,9, want 10 tot een kleine macht is al snel groot. Dat is meteen waarom de grafiek van log trager stijgt naarmate het grondtal groter wordt.

De rekenregels zijn hoogteverschillen

Zet de laag met de twee punten aan en kijk naar de verticale afstand. Die afstand hoort bij een verdubbeling van x, en ze verandert niet als je x versleept. Precies dat is log(2x) = log(x) + log(2).

Dezelfde redenering geeft de andere regels. Delen wordt aftrekken, en een macht vooraan wordt een factor: log(x³) is drie keer log(x), omdat je drie keer dezelfde hoogte opstapelt. Wie de regels zo ziet, hoeft ze niet uit het hoofd te leren.

Waarom er links van de as niets staat

Zet de asymptoot aan en je ziet de verticale lijn x = 0 die de kromme nooit raakt. Hoe dicht je ook bij nul komt, de exponent duikt gewoon steeds dieper, zonder ooit een eindwaarde te bereiken.

Links daarvan staat helemaal niets, en dat is geen tekortkoming van de tekening. Een positief grondtal tot eender welke macht blijft positief, dus er bestaat geen exponent die op nul of op een negatief getal uitkomt. Vraag je rekenmachine om log(-5) en je krijgt een foutmelding, geen getal.

Veelgestelde vragen

Wat is een logaritme in gewone woorden?

Het antwoord op de vraag "tot welke macht moet ik het grondtal verheffen". log(100) = 2 omdat 10² = 100. De logaritme is dus zelf een exponent, geen nieuw soort getal.

Hoe bereken je een logaritme?

Ligt het getal netjes op een macht van het grondtal, dan lees je hem af: log₂(32) = 5 want 2⁵ = 32. Anders gebruik je je rekenmachine met de toets log of ln. Staat er een ander grondtal, gebruik dan de regel van grondtalverandering: log₃(7) is log(7) gedeeld door log(3).

Wat is het verschil tussen log en ln?

Alleen het grondtal. Bij ons betekent log zonder meer grondtal 10, en ln staat voor de natuurlijke logaritme met grondtal e, ongeveer 2,72. Alle rekenregels zijn voor beide identiek.

Wat zijn de rekenregels van logaritmen?

Een product wordt een som, een quotiënt wordt een verschil en een exponent komt vooraan te staan. Kort: log(a·b) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) - log(b) en log(aⁿ) = n·log(a). Alle drie gelden ze alleen voor strikt positieve a en b.

Waarom bestaat de logaritme van een negatief getal niet?

Omdat er geen exponent bestaat die het klaarspeelt. Een positief grondtal blijft positief, welke macht je er ook op zet, dus je komt nooit op nul of op een negatief getal uit. Het domein van de logaritme is daarom alles wat strikt groter is dan nul.

Meer interactieve wiskundetools

• Afgeleide en raaklijn →Sleep het punt en zie de raaklijn kantelen, met de koorde die naar de raaklijn kruipt.
• Discriminant en parabool →Schuif aan a, b en c en zie D bepalen of de parabool de as snijdt, raakt of mist.
• Integraal en riemannsom →Schuif het aantal rechthoeken omhoog en zie de som naar de exacte oppervlakte kruipen.