Er is een specifiek moment waarop leerlingen wiskunde beginnen te haten, en het is bijna altijd hetzelfde: het vraagstuk.
De oefeningen lukten. De techniek zit erin. En dan komt er een stuk tekst over twee treinen, of over een tuin met een hek eromheen, en er gebeurt niets.
Dat is geen rekenprobleem. Het is een vertaalprobleem, en dat is goed nieuws, want vertalen is aan te leren met een vaste methode.
Wat een vraagstuk anders maakt
Bij een gewone oefening is de wiskunde al opgezet. Er staat een vergelijking en jij lost hem op. De enige vraag is of je de techniek beheerst.
Bij een vraagstuk moet je de vergelijking zelf maken uit een stuk gewone taal. Dat vraagt drie dingen die niets met rekenen te maken hebben: begrijpen wat er beschreven wordt, bepalen wat je zoekt, en het verband tussen de gegevens zien.
Pas daarna begint het rekenen, en dat is meestal het makkelijkste deel.
Daarom kan iemand met een negen voor de oefeningen een vier halen op een examen vol vraagstukken. Hij heeft het jaar door een andere vaardigheid geoefend dan degene die getest wordt.
De vaste volgorde
Gebruik altijd dezelfde vier stappen. Niet omdat het mooi is, maar omdat je dan nooit meer met een leeg blad zit.
Eén: benoem wat je zoekt. Schrijf op: x is het aantal fietsen, of x is de lengte van de zijde in centimeter. Met eenheid erbij.
Dit lijkt overbodig en het is de meest overgeslagen stap. Wie niet expliciet opschrijft wat x is, weet halverwege niet meer of hij nu de lengte of de oppervlakte aan het uitrekenen is. En op een examen kost dat hele vragen.
Twee: schrijf op wat je weet. In korte zinnen, met symbolen erbij. De ene is drie keer zo lang als de andere. De som is veertig. Er blijft twaalf over.
Dit is het moment waarop verbanden zichtbaar worden die in de lopende tekst verstopt zaten. Als je niet weet waar te beginnen, begin dan hier: opschrijven werkt beter dan staren.
Drie: zoek de zin die twee dingen gelijkstelt. In bijna elk vraagstuk staat er één. "Samen hebben ze veertig." "Het verschil bedraagt twaalf." "Ze komen tegelijk aan."
Die zin ís je vergelijking, alleen in woorden. Vertaal hem letterlijk naar symbolen en je opzet staat er.
Vier: reken uit, en controleer in de tekst. Niet in je vergelijking, want als je opzet fout was, klopt je vergelijking ook fout. Ga terug naar het verhaal: kan dit? Een negatieve lengte bestaat niet, een leeftijd van 340 jaar ook niet, en een korting die groter is dan de prijs meestal evenmin.
Teken het als er iets te tekenen valt
Bij alles wat met vormen, afstanden, snelheden of verhoudingen te maken heeft: maak een tekening.
Dat kost dertig seconden en het lost een verrassend groot deel van de moeilijkheid op, want een tekening laat verbanden zien die in tekst impliciet blijven. Bij een probleem met een rechthoek waarvan de omtrek gegeven is, zie je op een tekening meteen dat twee zijden even lang zijn.
Bij bewegingsvraagstukken, de klassieke twee treinen, is een schets van wie waar vertrekt en welke kant op bijna altijd het verschil tussen begrijpen en gokken.
En bij vraagstukken zonder vorm werkt een tabel of een schema. Zet de gegevens in kolommen: wie, hoeveel, per wat. Dan valt de structuur vanzelf op zijn plaats.
De signaalwoorden die de bewerking verraden
Een deel van het vertalen is gewoon vocabulaire, en dat is te leren.
Samen, in totaal, de som: optellen. Verschil, minder dan, blijft over: aftrekken. Keer, per, van (als in een derde van): vermenigvuldigen. Verdeeld over, gedeeld door, elk: delen. Is gelijk aan, bedraagt, evenveel als: het isgelijkteken.
Let vooral op "meer dan" en "minder dan", want daar draait de volgorde vaak om. "Vijf minder dan x" is x min vijf, niet vijf min x. Dat is een van de meest gemaakte vertaalfouten en ze is puur een kwestie van aandacht.
Eén vraagstuk, helemaal uitgeschreven
Neem iets alledaags. Een rechthoekige tuin is drie meter langer dan hij breed is. De omtrek bedraagt 34 meter. Hoe groot is de oppervlakte?
Wat de meeste leerlingen doen: zoeken naar de formule voor oppervlakte en dan vastlopen omdat ze twee onbekenden hebben.
Wat je zou moeten doen, is de vier stappen.
Stap één, wat zoek ik. Uiteindelijk de oppervlakte, maar die kan ik pas berekenen als ik de zijden ken. Dus: b is de breedte in meter. Let op dat ik één onbekende kies en niet twee, want de lengte staat al in verhouding tot de breedte.
Stap twee, wat weet ik. De lengte is b plus 3. De omtrek is 34.
Stap drie, de zin die gelijkstelt. "De omtrek bedraagt 34 meter." De omtrek van een rechthoek is tweemaal de lengte plus tweemaal de breedte. Dus 2(b + 3) + 2b = 34. Daar staat mijn vergelijking, rechtstreeks uit die ene zin.
Stap vier, uitrekenen en terugkijken. Uitwerken geeft 4b + 6 = 34, dus b = 7. De breedte is 7, de lengte is 10, de oppervlakte is 70 vierkante meter.
En dan de controle, en die doe je in de tekst en niet in je vergelijking: is 10 inderdaad drie meer dan 7, en is de omtrek 2 maal 10 plus 2 maal 7, dus 34? Ja. Klaar.
Merk op waar het werk zat. Stap één en drie waren het moeilijkste, en er kwam geen enkele berekening aan te pas. Stap vier was mechanisch. Dat is de verhouding bij vrijwel elk vraagstuk, en het is precies omgekeerd aan hoe de meeste leerlingen hun tijd verdelen.
Oefen alleen het opzetten
Dit is de aanbeveling die het meeste oplevert en die bijna niemand doet.
Neem tien vraagstukken. Zet voor elk alleen de eerste drie stappen: wat zoek ik, wat weet ik, welke vergelijking hoort erbij. Los ze niet op.
Dat is een half uur werk en het traint precies het stuk dat ontbreekt. Wie de hele oefening maakt, besteedt het grootste deel van zijn tijd aan rekenen, wat hij al kan.
Kijk daarna alleen na of je opzet klopte. Als je opzet goed was en je rekende fout, is dat een ander probleem en het is een kleiner probleem.
Waarom dit later blijft terugkomen
Deze vaardigheid gaat niet weg na het secundair. Ze wordt belangrijker.
Bij fysica is het hele vak eigenlijk vertalen: een situatie omzetten in krachten en vergelijkingen. Bij chemie idem, met stoffen en hoeveelheden. Bij economie moet je een beschreven gebeurtenis omzetten in een verschuiving op een grafiek.
En in het hoger onderwijs, bij statistiek bijvoorbeeld, is de examenvraag zelden een berekening. Ze is: hier is een onderzoeksvraag, welke toets past erbij. Dat is precies hetzelfde soort vertaalwerk, met andere woorden.
Wie het in het vierde jaar onder de knie krijgt, heeft er de rest van zijn opleiding iets aan.
Als het echt vastloopt
Het lastige aan vraagstukken is dat je je eigen verkeerde opzet niet ziet. Je vertaalt de tekst zoals jij hem begrepen hebt, en van binnenuit voelt dat precies hetzelfde als een juiste vertaling.
Daar helpt iemand die meeleest terwijl je het opzet meer dan tien extra oefeningen. Eén sessie waarin je hardop vertelt hoe je aan een vraagstuk begint, legt meestal binnen het kwartier bloot waar het misgaat, en dat is bijna altijd één terugkerend patroon en niet tien losse fouten.
Onze docenten geven bijles wiskunde in het secundair. Loopt het breder vast dan alleen bij vraagstukken, dan staat per graad uitgewerkt waar het meestal misgaat: eerste graad, tweede graad en derde graad.