Kansrekenen is het hoofdstuk waar leerlingen het vaakst het gevoel hebben dat het van geluk afhangt. De ene oefening lukt, de volgende die er precies zo uitziet lukt niet, en het is onduidelijk waarom.
Dat komt doordat de moeilijkheid niet in de berekening zit maar in de opzet, en die opzet wordt zelden expliciet geoefend.
Vier vragen, altijd dezelfde
Voor je één formule aanraakt, beantwoord je vier vragen. Wie dat doet, heeft het meeste al opgelost.
Eén: telt de volgorde mee? Bij een pincode wel: 1234 is niet hetzelfde als 4321. Bij het trekken van drie namen uit een hoed niet: dezelfde drie namen in een andere volgorde is dezelfde uitkomst.
Twee: wordt er teruggelegd? Trek je een kaart en leg je hem terug, dan verandert er niets voor de volgende trekking. Leg je hem niet terug, dan wordt de stapel kleiner en veranderen alle kansen daarna.
Drie: gaat het om 'en' of om 'of'? Moeten er meerdere dingen samen gebeuren, of volstaat één ervan?
Vier: is het makkelijker om het tegenovergestelde te berekenen? Bij vragen met "minstens één" is dat bijna altijd zo.
Die vier vragen op een blad zetten en voor elke oefening beantwoorden, is de nuttigste twintig minuten die je aan dit hoofdstuk kan besteden.
Volgorde en terugleggen: vier gevallen
De combinatie van vraag één en twee levert vier situaties op, en elke situatie heeft zijn eigen aanpak. Meer zijn er niet.
Volgorde telt mee en er wordt teruggelegd: elke plaats heeft evenveel mogelijkheden, dus je vermenigvuldigt gewoon. Een code van vier cijfers uit tien mogelijkheden geeft tien maal tien maal tien maal tien.
Volgorde telt mee en er wordt niet teruggelegd: elke keer valt er een mogelijkheid weg. Tien maal negen maal acht maal zeven.
Volgorde telt niet mee en er wordt niet teruggelegd: dit zijn combinaties. Je berekent het geval hierboven en deelt daarna weg hoe vaak dezelfde selectie in een andere volgorde geteld werd.
Volgorde telt niet mee en er wordt wel teruggelegd: dit komt in het secundair zelden voor en wordt zelden gevraagd.
Als je bij een opgave weet in welk van deze vier je zit, is de rest mechanisch. Als je dat niet weet, is elke formule een gok.
En, of, en de valkuil bij 'of'
Vermenigvuldigen bij 'en', optellen bij 'of'. Dat is de vuistregel en er zit een voorwaarde bij die het vaakst vergeten wordt.
Optellen mag alleen als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten, dus als ze niet tegelijk kunnen plaatsvinden. De kans om een harten te trekken of een aas te trekken, is niet gewoon de som, want de hartenaas zit in allebei en zou dan dubbel geteld worden.
Bij overlappende gebeurtenissen tel je op en trek je de overlap er weer af. Dat is een standaardexamenvraag en ze wordt vaak fout beantwoord door mensen die de vuistregel wel kennen.
Vermenigvuldigen mag alleen bij onafhankelijke gebeurtenissen, dus wanneer de ene de kans op de andere niet verandert. Zodra er niet teruggelegd wordt, is die onafhankelijkheid weg en moet je met aangepaste kansen werken.
De omgekeerde weg bij 'minstens één'
Deze techniek bespaart zoveel werk dat het de moeite is om hem apart te leren.
Bij een vraag als "wat is de kans op minstens één zes bij vier worpen" kan je alle gevallen optellen: precies één zes, precies twee, precies drie, precies vier. Dat is veel rekenwerk.
Of je berekent de kans op géén enkele zes, en trekt die van één af. Dat is één berekening.
De vuistregel: zodra je "minstens" of "ten minste" leest, kijk of het tegenovergestelde eenvoudiger is. Meestal is het dat, en het is het soort ding waar examens bewust naar mikken.
Statistiek: beschrijven en dan interpreteren
Het statistiekdeel van het hoofdstuk voelt anders en het is eenvoudiger dan het kansdeel.
Het begint bij beschrijven: gemiddelde, mediaan, modus, spreiding. Wat leerlingen daar missen, is wanneer je welke maat gebruikt. Het gemiddelde is gevoelig voor uitschieters, de mediaan niet. Bij inkomens gebruik je daarom de mediaan, want één miljonair in een steekproef trekt het gemiddelde omhoog terwijl er niets veranderde voor de rest.
Die keuze is precies waar begripsvragen over gaan: welke maat past hier het best, en waarom.
Daarna komt de standaardafwijking, en die is niets anders dan hoe ver de waarnemingen gemiddeld van het gemiddelde af liggen. Een kleine standaardafwijking betekent dat alles dicht bij elkaar zit.
De normale verdeling als maatstok
Bij de normale verdeling denken leerlingen dat ze een tabel uit het hoofd moeten kennen. Dat hoeft niet.
Het idee: de meeste waarnemingen liggen rond het gemiddelde, en hoe verder je gaat, hoe zeldzamer. De standaardafwijking is je maatstok om afstanden te meten.
Ruwweg ligt ongeveer twee derde van de gevallen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, en het overgrote deel binnen twee. Dat is genoeg om zowat elke begripsvraag te beantwoorden zonder tabel.
Wat er wel geoefend moet worden, is de omrekening: hoeveel standaardafwijkingen ligt deze waarde van het gemiddelde af? Dat getal is waar je verder mee werkt, en het is één deling.
Waar de intuïtie het mis heeft
Kansrekenen is een van de weinige onderwerpen waar gezond verstand je systematisch de verkeerde kant op stuurt, en examens maken daar bewust gebruik van.
De gokkersmisvatting. Na vijf keer kop is de kans op munt bij de zesde worp nog steeds precies de helft. De munt heeft geen geheugen. Dat weet iedereen als je het vraagt, en bijna niemand voelt het zo aan.
Verwarring tussen twee richtingen. De kans dat iemand met een ziekte een positieve test heeft, is iets heel anders dan de kans dat iemand met een positieve test de ziekte heeft. Bij een zeldzame aandoening kan het eerste heel hoog zijn en het tweede laag. Dit is de klassieker die op examens terugkomt en die in het echte leven tot verkeerde conclusies leidt.
Kleine kansen bij veel pogingen. Iets met een kans van één op duizend gebeurt bij duizend pogingen niet zeker, en het gebeurt ook niet nooit. Hier helpt de omgekeerde weg: bereken de kans dat het geen enkele keer gebeurt.
Onafhankelijkheid aannemen die er niet is. Twee gebeurtenissen die samenhangen mag je niet vermenigvuldigen. Bij het trekken zonder terugleggen is dat duidelijk; bij verhaaltjes over weer, verkeer of mensen is het dat minder.
Wie deze vier kent, herkent ze op een examen, want ze zitten er bijna altijd in.
Waarom dit hoofdstuk later terugkomt
Ik zou hier meer aandacht aan besteden dan de meeste leerlingen doen, en dat is vooruitkijkend.
In het hoger onderwijs is statistiek het vak dat het vaakst een eerste jaar kost, en dan vooral bij psychologie, pedagogie, economie, geneeskunde en de sociale richtingen. Het bouwt rechtstreeks verder op wat je hier leert.
Studenten die daar vastlopen, hebben vrijwel altijd hetzelfde probleem: kansrekenen in het secundair als formulewerk behandeld in plaats van als redeneerwerk. En dan moet je aan de universiteit twee dingen tegelijk leren.
Wie de vier vragen hierboven hier al automatisch stelt, heeft daar een voorsprong die groter is dan één hoofdstuk.
Hoe je het oefent
Neem twintig opgaven en beantwoord alleen de vier vragen per opgave. Los niets op. Kijk daarna na of je opzet klopte.
Dat is een half uur en het is precies het stuk dat op een examen getest wordt. Wie in plaats daarvan twintig opgaven volledig uitwerkt, besteedt het meeste van zijn tijd aan rekenen, wat hij al kan.
Loopt het rekenwerk zelf stroef, met breuken en verhoudingen, dan ligt daar het echte gat en niet bij de kansen. Dat staat uitgewerkt in wiskunde in de tweede graad. En voor het vertalen van een tekst naar een opzet, wat hier de kernvaardigheid is, staat er meer in wiskundige vraagstukken aanpakken.